Albert Einstein (1879-1955)
El problema
La necessitat d’un espai-temps no pla per al desenvolupament de la relativitat general.
Siga K’ un sistema de coordenades l’eix z’ del qual coincideix amb l’eix z del sistema K i que gira al voltant d’aquest eix amb una velocitat angular constant. Les configuracions dels cossos rígids en repòs respecte de K’ estan d’acord amb les lleis de la geometria euclidiana?
L’experiment mental ("el disc rígid que gira")
Siga K un sistema en repòs (sistema d’inèrcia) i siga K’ un sistema de referència amb Z’ coincidint amb Z i que gira al voltant d’aquest eix fix al disc, amb una velocitat angular constant. Suposem que sobre el disc hi ha dibuixat un cercle tan gran com per a negligir la curvatura en aplicar un regle sobre ella per mesurar la seua longitud.
Des del sistema K observem com intenta K’ determinar la longitud de la circumferència, CK’, i el radi RK’. Per a fer-ho, K’ amida amb el mateix regle que empra l’observador de K. "El mateix" significa o que és realment el mateix, de manera que l’observador exterior passa el seu a l’observador del disc, o que és un dels dos regles de la mateixa llargada, quan es troben en repòs en un sistema de referència. K’ obtindrà que
CK’ = 2p RK’
L’observador de K amida en primer lloc el radi. Col·locat sobre el radi, el regle es mou per a aquest observador. Tanmateix aquest regle no experimentarà cap contracció i tindrà la mateixa llargada per a K i K’, ja que la direcció del moviment és perpendicular al regle. No passa el mateix en amidar la longitud de la circumferència gran. El regle col·locat sobre la circumferència, en la direcció del moviment apareixerà contreta per a l’observador K, en comparació amb el seu regle en repòs, LK. És a dir, LK = LK’g-1. Amb aquest regle més curt per a K, K necessita més regles per a cobrir tota la longitud de la circumferència, és a dir CK = g CK’. Si dividim aquesta equació per RK = RK’, i tenint en compte que CK’/RK’ = 2p, s’obté que
CK = 2p RK g
És a dir, per a l’observador per al qual el disc està en moviment el quocient entre la longitud de la circumferència i el radi resulta ser major que 2p.
Per tant, l’observador per al qual el disc està en moviment no pot confirmar la validesa de la geometria d’Euclides en el seu sistema de referència.
Nota: g= [1-(v/c)2] -1/2
Observació final: És coherent barrejar cos rígid i relativitat especial?
